Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接AG．將△ABC沿AG對(duì)折至△AFG，延長(zhǎng)GF交邊CD于點(diǎn)E，連接AE、CF．下列結(jié)論：①△AFE≌△ADE；②EC=2DE；③S_△EFC=2；④∠BAG+∠AFC=180°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)，通過(guò)三角形面積得出S_△GFC：S_△FCE=3：2，
由平行線的判定可得AG∥CF；進(jìn)而得出∠AFC+∠BAG=180°求出即可．

解答：解：①因?yàn)锳B=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵

AE=AE AD=AF

，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，故此選項(xiàng)正確；

②因?yàn)椋篍F=DE，設(shè)DE=FE=x，則CG=3，EC=6-x．
在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得：
（6-x）²+9=（x+3）²，
解得x=2．
則DE=2．
則EC=4，
故EC=2DE，故此選項(xiàng)正確；

③∵S_△GCE=

1

2

GC•CE=

1

2

×3×4=6，
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=

2

5

×6=

12

5

≠2．
故此選項(xiàng)不正確．

④∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，
又∵∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF，
∴∠GAF+∠AFC=180°，
∵∠BAG=∠GAF，
∴∠AFC+∠BAG=180°，故此選項(xiàng)正確；
故正確的有3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計(jì)算，有一定的難度．