Question

如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問(wèn)題：
（1）在圖1中，寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間關(guān)系為；
（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N．
①仔細(xì)觀察，在圖2中有

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個(gè)以線段AD為邊的“8字形”；
②若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數(shù)；
③∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試直接寫出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關(guān)系，不需說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠A+∠D+∠AOD=180°，∠C+∠D+∠BOC=180°，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠AOD=∠BOC，所以∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）①以M為交點(diǎn)的“8字形”有1個(gè)，以N為交點(diǎn)的“8字形”有1個(gè)，以O(shè)為交點(diǎn)的“8字形”有4個(gè)；
②根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)（1）中的結(jié)論得到∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，兩等式相減得到∠D-∠P=∠P-∠B，
即∠P=

1

2

（∠D+∠B），然后把∠D=40°，∠B=36°代入計(jì)算即可；
③由②的證明得到∠P=

1

2

（∠D+∠B）．

解答：解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°，∠C+∠D+∠BOC=180°，
而∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）①6；
②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠D-∠P=∠P-∠B，
即∠P=

1

2

（∠D+∠B），
∵∠D=40°，∠B=36°
∴∠P=

1

2

（40°+36°）=38°；    
（4）∠P=

1

2

（∠B+∠D）．
故答案為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義．