Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A（0，2），C（-1，0），如圖所示．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若以（-

1

2

，-

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）為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求該拋物線(xiàn)的解析式；
（3）在（2）中的拋物線(xiàn)上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，若過(guò)B作BD⊥x軸于D，易證得△BCD≌△CAO，則BD=OA=2，BD=OC=1，即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)為：B（-3，1）．
（2）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求出待定系數(shù)a的值，也就求得了拋物線(xiàn)的解析式．
（3）延長(zhǎng)BC到P，使CP=BC，連接AP，利用等腰直角三角形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．

解答：解：（1）過(guò)B作BD⊥x軸于D；
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO；
又∵BC=AC，∠BDC=∠AOC=90°，
∴△BDC≌△COA；
∴AO=DC=2，BD=OC=1，
∴B（-3，1）．

（2）∵以（-

1

2

，-

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）為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則有：
y=a（x+

1

2

） ²-

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，
將B（-3，1）代入得出：
解得a=

1

2

；
∴y=

1

2

（x+

1

2

） ²-

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，

（3）延長(zhǎng)BC到P，使CP=BC，連接AP，
則△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形
過(guò)P作PF⊥x軸于F，易證△BDC≌△PFC，
∴CF=CD=2PF=BD=1，
∴P（1，-1），
將（1，-1）代入拋物線(xiàn)的解析式滿(mǎn)足；
若∠CAP=90°，AC=AP₁，
則四邊形ABCP₁為平行四邊形，
過(guò)P₁作P₁G⊥y軸于G，易證△P₁GA≌△CDB，
∴P₁G=2，AG=1，
∴P₁（2，1）在拋物線(xiàn)上，
∴存在P（1，-1），（2，1）滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)得出P點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．