Question

如圖1，已知點(diǎn)A(0，4

3

)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，且∠ABO=30°，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒

3

個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在x軸上取兩點(diǎn)M、N作等邊△PMN．

（1）求直線AB的解析式；
（2）求等邊△PMN的邊長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示），并求出當(dāng)頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn)O重合時(shí)t的值；
（3）如圖2，如果取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在Rt△AOB內(nèi)部作矩形ODCE，點(diǎn)C在線段AB上，從點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M與原點(diǎn)O重合這一過(guò)程中，設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)知道OA的長(zhǎng)度，在直角三角形中根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB，根據(jù)勾股定理求出OB，從而求出B的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（2）由（1）已經(jīng)求出AB的長(zhǎng)，可以表示出BP的長(zhǎng)，題目也告訴了∠ABO的度數(shù)，利用三角函數(shù)值就可以表示出MP長(zhǎng)度，當(dāng)M到達(dá)O點(diǎn)利用30°的直角三角形的特殊關(guān)系求出OP，利用勾股定理就可以求出AP，從而求出時(shí)間t．
（3）當(dāng)點(diǎn)M與原點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)D也是重合的，這時(shí)以PM是否過(guò)點(diǎn)E為分點(diǎn)分別計(jì)算重合部分的面積．將重合部分的面積用含t的式子表示出來(lái)就可以了．

解答：解：（1）∵A（0，4

3

）
∴OA=4

3

在Rt△AOB中，∠AOB=90°
tan∠ABO=

AO

BO

即tan30°=

4 3

BO

=

3

3

∴BO=12
∴B（12，0）
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，由題意得：

4 3 =b 0=12k+b

解得：

k=- 3 3 b=4 3

∴直線AB的解析式為：y=-

3

3

x+4

3

（2）∵△PMN為等邊三角形
∴∠PMO=60°
∵∠ABO=30°
∴∠PMO+∠ABO=90°
∴∠MPB=90°
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°
∴AB=2AO=8

3

∴BP=AB-AP=8

3

-

3

t，在Rt△MPB中，∠MPB=90°
tan∠ABO=

MP

BP

即tan30°=

MP

8 3 - 3 t

=

3

3

∴MP=8-t
當(dāng)M與O重合時(shí)，在Rt△PBO中，∠ABO=30°，∠BPO=90°
∴MP=

1

2

OB=6，即8-t=6
∴t=2

（3）M與O點(diǎn)重合時(shí)PM=MN=6，此時(shí)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合，如圖2，
當(dāng)PM過(guò)點(diǎn)E時(shí)，∠PMB=60°，∠MBA=30°，∴∠MBA=∠ACE=30°，
∴∠EAP=60°，
∴∠AEP=30°
∴AP=

1

2

AE=

3

，此時(shí)t=1
當(dāng)0≤t≤1時(shí)，設(shè)PN交EC于F，過(guò)F作FG⊥OB于G，F(xiàn)G=OE=2

3

∵∠PNM=60°，∴GN=2
∵PM=8-t，∴BM=2PM=16-2t
∴MO=BM-BO=4-2t
ON=MN-MO=t+4
EF=OG=ON-GN=t+2
∴S=

1

2

×2

3

×(t+2+t+4)
=2

3

t+6

3

當(dāng)0＜t≤2時(shí)設(shè)PM、PN交EC于H、F，S=S_梯形EONF-S_△EHI．
由（2）知MO=4-2t，IO=

3

MO=4

3

-2

3

t
∴EI=EO-IO=2

3

t-2

3

EH=

3

3

EI=2t-2
∴S_△EHI=

1

2

×(2t-2)(2

3

t-2

3

)
=2 

3

t2-4

3

t+2

3

∴S=2

3

t+6

3

-2 

3

t2 +4

3t

-2

3

=-2

3

t2 +6

3

t+4

3

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)的運(yùn)用以及圖形的面積公式，數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．是一道難度較大的綜合試題．