Question

18．觀察下面的變形規(guī)律：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\sqrt{5}-\sqrt{4}$，…
解答下面的問題：
（1）若n為正整數(shù)，請你猜想$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）計算：
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$）×（$\sqrt{2016}+1$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意確定出一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）原式分母有理化后，計算即可得到結果．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案為：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）原式=[（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$）]（$\sqrt{2016}$+1）
=（$\sqrt{2016}$-1）（$\sqrt{2016}$+1）
=（$\sqrt{2016}$）²-1²
=2016-1
=2015．

點評 此題考查了分母有理化，弄清題中分母有理化規(guī)律是解本題的關鍵．