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如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是直徑，AD=DC．分別延長BA，CD，交點為E．作BF⊥EC，并與EC的延長線交于點F．若AE=AO，BC=6，則CF的長為
3
2
2
3
2
2
．
分析：連接AC，BD，OD，由圓周角定理可知∠BCA=∠BDA=90°，由圓內接四邊形的性質可得∠BCF=∠BAD，根據相似三角形的判定定理可得Rt△BCF∽Rt△BAD，則有
BC
BA
=
CF
AD
，即
CF
BC
=
AD
AB
，又因為OD是⊙O的半徑，AD=CD，根據垂徑定理的推論得OD垂直平分AC，則OD∥BC，
DE
CD
=
OE
OB
，并且有△EOD∽△EBC，則
OE
BE
=
DE
CE
=
OD
BC
，
DE
CD
=
OE
OB
，而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6，可得到半徑OD=4，CE=
3
2
DE，又∠EDA=EBC，∠E公共可得到△AED∽△CEB，則DE•EC=AE•BE，即有DE•
3
2
DE=4×12，可求出DE=4
2
，則CD=2
2
，則AD=2
2
，然后代入
CF
BC
=
AD
AB
即可求出CF的長．
解答：解：如圖，連接AC，BD，OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=∠BDA=90°．
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=90°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠BCF=∠BAD，
∴Rt△BCF∽Rt△BAD，
∴
BC
BA
=
CF
AD
，即
CF
BC
=
AD
AB
，
∵OD是⊙O的半徑，AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∴OD∥BC，
∴
DE
CD
=
OE
OB
，
∴△EOD∽△EBC，
∴
OE
BE
=
DE
CE
=
OD
BC
，
DE
CD
=
OE
OB
，
而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6
∴
OE
BE
=
DE
CE
=
OD
6
=
2
3
，
DE
CD
=2，
∴OD=4，CE=
3
2
DE，
又∵∠EDA=EBC，∠E公共，
∴△AED∽△CEB，
∴DE•EC=AE•BE，
∴DE•
3
2
DE=4×12，
∴DE=4
2
，
∴CD=2
2
，則AD=2
2
，
∴
CF
6
=
2
2
8
，
∴CF=
3
2
2
．
故答案為
3
2
2
．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了圓周角定理的推論、圓內接四邊形的性質以及垂直定理的推論．
練習冊系列答案
相關習題

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如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O，設AC=2a，BD=2b，請推導這個四邊形的性質．（至少3條）
（提示：平面圖形的性質通常從它的邊、內角、對角線、周長、面積等入手．）

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E，交BC于點F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求證：PA=PC．
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四邊形ABCD的面積．

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精英家教網如圖，四邊形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度數．

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如圖，四邊形ABCD為正方形，E是BC的延長線上的一點，且AC=CE，求∠DAE的度數．

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如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．

（I）求證：AE=EF；
（Ⅱ）若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”，其余條件不變，則結論AE=EF還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

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