Question

如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，AD⊥PO于D、求證：=．

Answer 1

解：連接OA，
∵PA是切線，
∴∠PAO=∠PDA=90°，
又∵∠APD=∠OPA，
∴△APD∽OPA，
∴=，
∴PA²=PD•PO，
又∵PA是切線，
∴PA²=PB•PC
∴PA²=PD•PO=PB•PC
又∵∠CPD=∠OPB，
∴△PCD∽△POB
∴
又△POC∽△PBD，則
∴．
分析：所證比例線段不是對應(yīng)邊，故不能通過判定△POB與△PCD相似證明．PA²=PD•PO=PB•PC，再易證△PCD∽△POB，根據(jù)對應(yīng)邊的比相等，即可證得．
點(diǎn)評：四點(diǎn)共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個(gè)重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因?yàn)椋�某四點(diǎn)共圓，不但與這四點(diǎn)相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運(yùn)．用圓的性質(zhì)為解題服務(wù)．