Question

7．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中點，AD⊥AE．
（1）求證：AC²=CD•BC；
（2）過E作EG⊥AB，并延長EG至點K，使EK=EB．
①若點H是點D關(guān)于AC的對稱點，點F為AC的中點，求證：FH⊥GH；
②若∠B=30°，求證：四邊形AKEC是菱形．

Answer 1

分析 （1）欲證明AC²=CD•BC，只需推知△ACD∽△BCA即可；
（2）①連接AH．構(gòu)建直角△AHC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰對等角以及等量代換得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；
②利用“在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”、“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知四邊形AKEC的四條邊都相等，則四邊形AKEC是菱形．

解答 證明：（1）∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA=∠ACB．
又∵AC⊥AB，AD⊥AE，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，
∴∠DAC=∠EAB．
又∵E是BC的中點，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠ABC，
∴∠DAC=∠ABC，
∴△ACD∽△BCA，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴AC²=CD•BC；

（2）①證明：連接AH．
∵∠ADC=∠BAC=90°，點H、D關(guān)于AC對稱，
∴AH⊥BC．
∵EG⊥AB，AE=BE，
∴點G是AB的中點，
∴HG=AG，
∴∠GAH=GHA．
∵點F為AC的中點，
∴AF=FH，
∴∠HAF=∠FHA，
∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，
∴FH⊥GH；
②∵EK⊥AB，AC⊥AB，
∴EK∥AC，
又∵∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$BC=EB=EC．
又EK=EB，
∴EK=AC，
即AK=KE=EC=CA，
∴四邊形AKEC是菱形．

點評 本題考查了四邊形綜合題，需要熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、“在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”以及菱形的判定才能解答該題，難度較大．