Question

如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)MC并延長(zhǎng)到E，使得CE=CM，以MA、MB為鄰邊做?MADB，對(duì)角線交點(diǎn)為F，連接DE．
（1）求證：①DE⊥AB；②DE=AB；
（2）若△ABC為等邊三角形，猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)直接寫出你的猜想結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）首先連接CF，由四邊形ADBM是平行四邊形，可得AF=BF，DF=MF，又由等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，可得CF⊥AB，CF=

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2

AB，然后由三角形中位線的性質(zhì)，證得CF∥DE，CF=

1

2

DE，繼而證得結(jié)論；
（2）首先連接CF，由四邊形ADBM是平行四邊形，可得AF=BF，DF=MF，又由等邊三角形的性質(zhì)，可得CF⊥AB，CF=

3

2

AB，然后由三角形中位線的性質(zhì)，證得CF∥DE，CF=

1

2

DE，繼而證得結(jié)論．

解答：證明：（1）連接CF，
∵四邊形ADBM是平行四邊形，
∴AF=BF，DF=MF，
又∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴CF⊥AB，CF=

1

2

AB，
又∵M(jìn)C=CE，
∴CF∥DE，CF=

1

2

DE，
∴DE⊥AB，DE=AB；

（2）①成立，②DE=

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AB．
∵四邊形ADBM是平行四邊形，
∴AF=BF，DF=MF，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠ABC=60°，
∴CF⊥AB，CF=

3

2

AB，
又∵M(jìn)C=CE，
∴CF∥DE，CF=

1

2

DE，
∴DE⊥AB，DE=

3

AB．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．