Question

如圖，已知以AB為直徑的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，A、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0）、C（0，3），直線DE交x軸交于點(diǎn)E（﹣，0）．
（1）求該圓的圓心坐標(biāo)和直線DE的解析式；
（2）判斷直線DE與圓的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，設(shè)圓心為F，圓的半徑為r，連接CF，DF， ∵A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴OC=3，OF=r﹣1，根據(jù)勾股定理得： CF2=OC2+OF2， 即r2=32+（r﹣1）2， 解得：r=5，r﹣1=4， ∴圓心坐標(biāo)為（4，0）； 根據(jù)圓的對(duì)稱性，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣3）， 設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b， 則， 解得， ∴直線DE的解析式為y=﹣x﹣3； （2）直線DE與圓相切．理由如下： 如圖，連接DF， 則OE=，OF=4，OD=3， ==，=， ∴=， 又∵∠DOF=∠DOE， ∴△DOE∽△FOD， ∴∠ODE=∠OFD， ∵∠OFD+∠ODF=90°， ∴∠ODE+∠ODF=90°， 即∠EDF=90°， ∴FD⊥ED， 又∵點(diǎn)D在圓上， ∴直線DE與圓相切．