Question

7．如圖①，在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+6與x軸交于點A，與直線y=x交于點B，沿M為線段OA的中點，C、D兩點同時從點M出發(fā)，均以每秒1個單位的速度沿x軸分別向終點O、A運動，以CD為邊向上作正方形CDEF，設C、D兩點運動的t（s）（t＞0）．
（1）點B的坐標為（4，4），△ABO的面積為24；
（2）當點E落在直線y=-$\frac{1}{2}$x+6上時，求t的值；在運動過程中，點F能否與點B重合，請通過計算進行說明；
（3）設正方形CDEF與△ABO重疊部分圖形的面積為S，當重疊部分圖形為五邊形時，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；
（4）如圖②，在點C、D的運動過程中作點B關于直線EF、CF的對稱點G、H，請直接寫出以BG、BH為鄰邊的矩形與正方形CDEF重疊部分的面積小于$\frac{9}{8}$時t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可以由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}X+6}\end{array}\right.$的解得到交點B的坐標，根據(jù)三角形面積公式可以求△AOB面積．
（2）①根據(jù)點E在AB上，利用相似三角形，可以確定t的值．
②先假設點F在直線AB上時，利用相似三角形求出t的值，進而確定點F的坐標，就可以判斷點F與點B是否重合．
（3）先畫出圖象，有兩種情形，再利用相似三角形的對應邊成比例，求出重疊部分的面積．
（4）根據(jù)矩形的性質以及矩形面積公式，列出關于t的不等式，然后求出t的范圍．

解答 解：（1）當y=0時，-$\frac{1}{2}$x+6=0得x=12，故A（12，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，故B（4，4），
S_△ABO=$\frac{1}{2}×12×4$=24，
故答案分別為B（4，4），S_△ABO=24．

（2）圖1中，當點E在AB上時，設直線AB與y軸交于點K，易知k（0，6），
∵ED∥KO，
∴$\frac{ED}{KO}=\frac{AD}{AO}$，
∴$\frac{2t}{6}=\frac{6-t}{12}$，
∴t=$\frac{6}{5}$，
∴點E在直線AB上時，t=$\frac{6}{5}$．
圖2中，當點F在AB上時，
∵FC∥OK，
∴$\frac{FC}{KO}$=$\frac{AC}{AO}$，
∴$\frac{2t}{6}=\frac{6+t}{12}$，
∴t=2，
∴FC=2t=4，AC=6+t=8，
∴OC=OC-AC=12-8=4，
∴點F坐標為F（4，4），
∵B（4，4），
∴點F與點B重合，
∴在運動過程中，點F能與點B重合．

（3）與（2）可知當$\frac{6}{5}$＜t＜2或2＜t＜6時，正方形CDEF與△ABO重疊部分是五邊形．見圖3、圖4．
在圖3中，正方形EFCD的邊EF交AB于N，邊ED交AB于H，
∵DH∥KO，
∴$\frac{HD}{KO}$=$\frac{AD}{AO}$，
∴$\frac{HD}{6}=\frac{6-t}{12}$，
∴HD=$\frac{1}{2}（6-t）$，EH=2t-$\frac{1}{2}$（6-t）=$\frac{5}{2}$t-3，
∵NE∥AD，
∴△ENH∽△DAH，
∴$\frac{EN}{AD}=\frac{EH}{HD}$，
∴EN=5t-6，
∴S=（2t）²-$\frac{1}{2}$•（5t-6）•（$\frac{5}{2}t-3$）=-$\frac{9}{4}{t}^{2}$+15t-9
（$\frac{6}{5}＜t＜2$）
在圖4中，S=S_△AOB-S_△OCN-S_△ADH
=$\frac{1}{2}$×12×4-$\frac{1}{2}$•（6-t）²-$\frac{1}{2}$•（6-t）$•\frac{1}{2}（6-t）$
=24-27+9t-$\frac{3}{4}$t²
=-$\frac{3}{4}$t²+9t-3
（2＜t＜6）
綜上所述S與t關系：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{4}{t}^{2}+15t-9}&{（\frac{6}{5}＜t＜2）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+9t-3}&{（2＜t＜6）}\end{array}\right.$．




（4）圖5中，直線EF交BH于P，直線BH交OA于L，F(xiàn)C交HN于K，
∵B、H關于直線EF對稱，B、G關于直線FC對稱，
∴BP=PH=|4-2t|，HK=HN=|6-t-4|，
∴S_重疊=|6-t-4|•|4-2t|＜$\frac{9}{8}$
∴（t-2）²＜$\frac{9}{16}$
∴|t-2|＜$\frac{3}{4}$
∴-$\frac{3}{4}$＜t-2＜$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{5}{4}$＜t＜$\frac{11}{4}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質、相似形三角形的判定與性質以及多邊形面積的求法，是一道運動型綜合題，涉及到動點型（兩個動點）和動線型，運動過程復雜，難度頗大，對同學們的解題能力要求很高．讀懂題意，弄清動點與動線的運動過程，是解題的要點．