Question

如圖，已知梯形OABC，AB∥OC，A（2，4），B（3，4），C（7，0）、點D在線段OC上運動（點D不與點O、C重合），過點D作x軸的垂線交梯形的一邊于點E，以DE為一邊向左側作正方形DEFG，設點D的橫坐標為t，正方形DEFG與梯形OABC重合部分的面積為s，
（1）直接寫出線段AO與線段BC所在直線的解析式；
（2）求s關于t的函數關系式，并求s的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B、C三點坐標，即可利用待定系數求得直線AO和直線BC的解析式．
（2）此題應分五種情況討論：
①點E在線段OA上時（包括和A點重合），即0＜t≤2時，此時OD=t，DE=2t，重合部分是直角三角形，利用三角形的面積公式即可得到S、t的函數關系式；
②點E在線段AB上時（包括和B點重合），即2＜t≤3時，此時OD=t，DE=4，重合部分是個直角梯形，根據梯形的面積公式可求得S、t的函數關系式；
③點E在線段BC上，點G在O點左側（或與點O重合），即3＜t≤3.5時，此時OD=t，DE=7-t，重合部分是個直角梯形，首先將DE的長代入直線AO的解析式中，即可得到EF與AO的交點橫坐標，從而求得梯形的上底長，而梯形的下底為t，高為7-t，根據梯形的面積公式即可得到S、t的函數關系式；
④點E在線段BC上，點G在O點右側，點F在直線OA左側（包括點F在OA上），即3.5＜t≤

21

5

時，此時OD=t，DE=7-t，重合部分的面積可由正方形的面積減去未重合的直角三角形的面積，由此求得S、t的函數關系式；
⑤點E在線段BC上，其余三點均在梯形OABC內部時，即

21

5

＜t＜7時，此時重合部分的面積就是正方形EFGD的面積，從而求得S、t的函數關系式；
根據上述五種不同的函數的性質和對應的自變量取值范圍即可得到S的最大值及對應的t的值．

解答：解：（1）設直線AO的解析式為：y=kx，由于A（2，4），則：
2k=4，k=2，
∴y=2x；
設直線BC的解析式為：y=ax+b，則有：

3a+b=4 7a+b=0

，
解得

a=-1 b=7

；
∴y=-x+7；
故直線AO的解析式為：y=2x；（1分）
直線BC的解析式為：y=-x+7．（2分）

第（2）小題分以下五段：
①當0＜t≤2時，有：s=t²；
當t=2時，s有最大值為：4 （4分）
②當2＜t≤3時，有：s=4t-4；
當t=3時，s有最大值為：8（6分）
③當3＜t≤3.5時，有：s=

1

2

(

5

2

t-

7

2

)(-t+7)=-

5

4

t2+

21

2

t-

49

4

=-

5

4

(t-

21

5

)2+9.8；
當t=3.5時，s有最大值為：

147

16

（7分）
④當3.5＜t≤

21

5

時，有：s=(-t+7)2-

1

4

(-5t+21)2=-

21

4

t2+

77

2

t-

245

4

=-

21

4

(t-

11

3

)2+

28

3

；
當t滿足3.5＜t≤

21

5

時，s的值小于

147

16

．（8分）
⑤當

21

5

＜t＜7時，有：s=（t-7）²；
此時s的值小于

147

16

，（9分）
綜上所述，當t=3.5時，s有最大值為：

147

16

．（10分）

點評：此題主要考查了一次函數解析式的確定以及圖形面積的求法，需要特別注意的是：在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．