Question

關(guān)于x的方程x²+2x+2

x2+2x+2p

-p2=0，其中p是實(shí)數(shù)．
（1）若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求P的范圍；
（2）若p＞0，問(wèn)p為何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？并求出這兩個(gè)根．

Answer 1

考點(diǎn)：無(wú)理方程,根的判別式

專題：換元法,判別式法

分析：（1）換元，令

x2+2x+2p

=y，把

x2+2x+2p

中根號(hào)下的數(shù)看成整體，再求p的范圍；
（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，判別式=0，求出p，再求得兩實(shí)根．

解答：解：（1）令

x2+2x+2p

=y，①
則原方程變?yōu)閥²+2y-（p²+2p）=0．
∵△=4+4（p²+2p）=4（p²+2p+1）=4（p+1）2≥0，
即y₁=p，y₂=-2-p．
若原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，只須

p＜0 -2-p＜0

解這個(gè)不等式組，得-2＜p＜0．

（2）∵p＞0，把y₁=p代入①，得

x2+2x+2p

=p②
而y₂=-2-p＜0，舍去．
將②式平方，整理得x²+2x-（p²-2p）=0．③
令△=4+4（p²-2p）=4（p²-2p+1）=4（p-1）²=0，解得p=1．
當(dāng)p=1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．把p=1代入③，得x²+2x+1=0，
∴x₁=x₂=-1．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)p=1時(shí)，x₁=x₂=-1是原方程的根．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查無(wú)理數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，本題用換元法解無(wú)理方程，注意這個(gè)方程無(wú)解條件的討論是解決本題的關(guān)鍵．