Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是DB延長線上一點，且△ACE是等邊三角形．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠AEB=2∠EAB，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AO=CO．又由△ACE是等邊三角形，可得AE=CE．根據(jù)三線合一，對角線垂直，即可得四邊形既為菱形
（2）根據(jù)有一個角是90°的菱形是正方形．由題意易得∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°，所以四邊形ABCD是菱形，∠BAD=2∠BAO=90°，即四邊形ABCD是正方形．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO．
∵△ACE是等邊三角形，
∴AE=CE．
∴BE⊥AC．
∴四邊形ABCD是菱形．

（2）從上易得：△AOE是直角三角形，
∴∠AEB+∠EAO=90°
∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAO=60°，
∴∠AEB=30°
∵∠AEB=2∠EAB，
∴∠EAB=15°，
∴∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°．
又∵四邊形ABCD是菱形．
∴∠BAD=2∠BAO=90°
∴四邊形ABCD是正方形．
點評：此題主要考查菱形和正方形的判定．本題考查知識點較多，綜合性強，能力要求全面，難度中等．注意靈活運用正方形和菱形的判定方法．