Question

如圖，P（m，n）是反比例函數(shù)上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形PMON的面積是否變化？若不變，請(qǐng)求出它的面積，并寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-4，2），試求四邊形PMON對(duì)角線的交點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；
（3）隨著點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P₁（m₁，n₁）也跟著運(yùn)動(dòng)，試寫(xiě)出n₁與m₁之間函數(shù)的關(guān)系式，并說(shuō)出它的圖象的形狀．

Answer 1

解：（1）四邊形PMON的面積不變…（1分）
由P（m，n）是反比例函數(shù)上 得mn=-8，PM=n，PN=-m
∵PM⊥x軸，PN⊥y軸∴四邊形PMON是矩形
∴四邊形PMON的面積=PM•PN=-mn=8∴四邊形PMON的面積不變…（2分）

（2）由于矩形PMON的對(duì)角線互相平分，
又∵P（-4，2），
∴P₁的坐標(biāo)是（-2，1）…（2分）

（3）（寫(xiě)出關(guān)系式即可）…（2分）
該函數(shù)的圖象是位于第二象限的雙曲線的一支．…（1分）
分析：（1）根據(jù)題意推知四邊形PMON是矩形，然后根據(jù)矩形的面積公式求得四邊形PMON的面積=PM•PN=-mn=8，即四邊形PMON的面積不變；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）和點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái)求，P₁的坐標(biāo)；
（3）由于點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P₁的運(yùn)動(dòng)軌跡也是曲線；根據(jù)點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，即n₁與m₁之間函數(shù)的關(guān)系式即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，注意通過(guò)矩形的性質(zhì)求得其面積、對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)．同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．