【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3a(a≠0)與x軸交于點A(﹣1,0)和點B,與y軸交于點C(0,2),連接BC.
(1)求該拋物線的解析式和對稱軸,并寫出線段BC的中點坐標;
(2)將線段BC先向左平移2個單位長度,再向下平移m個單位長度,使點C的對應點C1恰好落在該拋物線上,求此時點C1的坐標和m的值;
(3)若點P是該拋物線上的動點,點Q是該拋物線對稱軸上的動點,當以P,Q,B,C四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求此時點P的坐標.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx﹣3a(a≠0)與x軸交于點A(﹣1,0)和點B,與y軸交于點C(0,2),
∴ ,
解得 .
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣1)2+2 ,
∴對稱軸是x=1,
∵1+(1+1)=3,
∴B點坐標為(3,0),
∴BC的中點坐標為(1.5,1)
(2)
解:∵線段BC先向左平移2個單位長度,再向下平移m個單位長度,使點C的對應點C1恰好落在該拋物線上,
∴點C1的橫坐標為﹣2,
當x=﹣2時,y=﹣ ×(﹣2)2+ ×(﹣2)+2=﹣ ,
∴點C1的坐標為(﹣2,﹣ ),
m=2﹣(﹣ )=5
(3)
解:①若BC為平行四邊形的一邊,
∵BC的橫坐標的差為3,
∵點Q的橫坐標為1,
∴P的橫坐標為4或﹣2,
∵P在拋物線上,
∴P的縱坐標為﹣3 ,
∴P1(4,﹣3 ),P2(﹣2,﹣3 );
②若BC為平行四邊形的對角線,
則BC與PQ互相平分,
∵點Q的橫坐標為1,BC的中點坐標為(1.5,1),
∴P點的橫坐標為1.5+(1.5﹣1)=2,
∴P的縱坐標為﹣ ×22+ ×2+2=2,
∴P3(2,2).
綜上所述,點P的坐標為:P1(4,﹣3 ),P2(﹣2,﹣3 ),P3(2,2)
【解析】(1)把點A(﹣1,0)和點C(0,2)的坐標代入所給拋物線可得a、b的值,進而得到該拋物線的解析式和對稱軸,再求出點B的坐標,根據(jù)中點坐標公式求出線段BC的中點坐標即可;(2)根據(jù)平移的性質(zhì)可知,點C的對應點C1的橫坐標為﹣2,再代入拋物線可求點C1的坐標,進一步得到m的值;(3)B、C為定點,可分BC為平行四邊形的一邊及對角線兩種情況探討得到點P的坐標.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識,掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=5,AB=6,將它沿AB翻折得到△ABD,點P、E、F分別為線段AB、AD、DB的任意點,則PE+PF的最小值是________.
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【題目】計算下列各題
(1)計算: ﹣( )﹣1+(π﹣ )0﹣(﹣1)100;
(2)已知|a+1|+(b﹣3)2=0,求代數(shù)式( ﹣ )÷ 的值.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E是對角線AC上一點,且CE=CD,過點E作EF⊥AC交AD于點F,連接BE.
(1)求證:DF=AE;
(2)當AB=2時,求BE2的值.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,點D在AB的延長線上.
(1)利用尺規(guī)按下列要求作圖,并在圖中標明相應的字母(保留作圖痕跡,不寫作法). ①作∠CBD的平分線BM;
②作邊BC上的中線AE,并延長AE交BM于點F.
(2)由(1)得:BF與邊AC的位置關系是 .
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,直線l1、l2、l3分別通過A、B、C三點,且l1∥l2∥l3.若l1與l2的距離為4,l2與l3的距離為6,則Rt△ABC的面積為___________.
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【題目】甲、乙兩同學的家與學校的距離均為3000米.甲同學先步行600米,然后乘公交車去學校,乙同學騎自行車去學校.已知甲步行速度是乙騎自行車速度的,公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍.甲乙兩同學同時從家出發(fā)去學校,結果甲同學比乙同學早到2分鐘.乙騎自行車的速度是( 。┟/分.
A. 600 B. 400 C. 300 D. 150
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,D 是 AB 邊上的中點,將△ABC 沿過點 D 的直線折疊,DE 為折痕,使點 A 落在 BC 上 F處,若∠B=40°,則∠EDF=_____度.
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