Question

探究型問(wèn)題
如圖所示，在同一平面內(nèi)，兩條直線相交時(shí)最多有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交時(shí)最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交時(shí)最多有6個(gè)交點(diǎn)．

（1）當(dāng)五條直線相交時(shí)交點(diǎn)最多會(huì)有多少個(gè)？
（2）猜想n條直線相交時(shí)最多有幾個(gè)交點(diǎn)？（用含n的代數(shù)式表示）
（3）算一算，同一平面內(nèi)10條直線最多有多少個(gè)？
（4）平面上有10條直線，無(wú)任何3條交于一點(diǎn)（3條以上交于一點(diǎn)也無(wú)），也無(wú)重合，它們會(huì)出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)嗎？如果能給出一個(gè)畫(huà)法；如果不能請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）要探求相交直線的交點(diǎn)的最多個(gè)數(shù)，則應(yīng)盡量讓每?jī)蓷l直線產(chǎn)生不同的交點(diǎn)．根據(jù)兩條直線相交有一個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)第五條直線時(shí)，應(yīng)盡量和前面四條直線都產(chǎn)生交點(diǎn)，即增加4個(gè)交點(diǎn)，則有6+4=10個(gè)交點(diǎn)；
（2）根據(jù)已知條件，求得n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=

n(n-1)

2

個(gè)交點(diǎn)；
（3）將n=10代入上式即可求解；
（4）可使5條直線平行，另3條直線平行且都與這5條相交，再有2條直線平行且都與這5條直線相交，且3條和2條也有相交．

解答：解：（1）如圖，∵兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)，
三條直線相交，最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)，
四條直線相交，最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)．
∴五條直線相交，最多有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；

（2）n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=

n(n-1)

2

個(gè)交點(diǎn)；

（3）10條直線相交，最多有

10×9

2

=45個(gè)交點(diǎn)；

（4）會(huì)出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：

點(diǎn)評(píng)：此題考查平面內(nèi)不重合直線的位置關(guān)系，是尋找規(guī)律的題型，找到n條直線相交，最多有

n(n-1)

2

個(gè)交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．