Question

如圖，已知正方形ABCD．

（1）請用直尺和圓規(guī)，作出正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到的正方形AB′C′D′（其中B′，C′，D′分別是點(diǎn)B，C，D的像）（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）；

（2）設(shè)CD與B′C′相交于O點(diǎn)，求證：OD=OB′；

（3）若正方形的邊長為，求兩個(gè)正方形的重疊部分（四邊形AB′OD）的面積．

Answer 1

解：（1）圖略                                                            （3分）

（2）連結(jié)B′D．

∵正方形AB′C′D′由正方形ABCD旋轉(zhuǎn)得到，∴AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，

∴∠ADB′=∠AB′D，∴∠ODB′=∠OB′D，∴OD=OB′． （3分）

（3）連結(jié)AC．∵正方形ABCD，∴∠CAB=45°．

由題意知∠BAB′=45°，∴∠CAB=∠BAB′，

即B′在AC上，∴△OB′C是等腰直角三角形．

設(shè)OD=OB′=x，則OC=．

∵CD=，∴，∴x=1．

∴S_{四邊形AB′OD}=S_△ACD-S_△B′CO=．                       （4分）