Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點M和圖形W，若圖形W上存在一點N（點M，N可以重合），使得點M與點N關(guān)于一條經(jīng)過原點的直線l對稱，則稱點M與圖形W是“中心軸對稱”的

對于圖形和圖形，若圖形和圖形分別存在點M和點N（點M，N可以重合），使得點M與點N關(guān)于一條經(jīng)過原點的直線l對稱，則稱圖形和圖形是“中心軸對稱”的。

特別地，對于點M和點N，若存在一條經(jīng)過原點的直線l，使得點M與點N關(guān)于直線l對稱，則稱點M和點N是“中心軸對稱”的。

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點，點，

①下列四個點，，，中，與點A是“中心軸對稱”的是________；

②點E在射線OB上，若點E與正方形ABCD是“中心軸對稱”的，求點E的橫坐標(biāo)的取值范圍;

（2）四邊形GHJK的四個頂點的坐標(biāo)分別為，，，,一次函數(shù)圖象與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段與四邊形GHJK是“中心軸對稱”的，直接寫出b的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）①P1，P4；②≤xE≤；（2）2≤b≤2+2或-2-2≤b≤-2．

【解析】

（1）①根據(jù)畫出圖形，根據(jù)“中心軸對稱”的定義即可判斷．

②以O為圓心，OA為半徑畫弧交射線OB于E，以O為圓心，OC為半徑畫弧交射線OB于F．求出點E，點F的坐標(biāo)即可判斷．

（2）如圖3中，設(shè)GK交x軸于P．求出兩種特殊位置的b的值即可判斷：當(dāng)一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點G（-2，2）時，2=-2+b，b=2+2，當(dāng)一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點P（-2，0）時，0=-2+b，b=2，觀察圖象結(jié)合圖形W1和圖形W2是“中心軸對稱”的定義可知，當(dāng)2≤b≤2+2時，線段MN與四邊形GHJK是“中心軸對稱”的．再根據(jù)對稱性，求出直線與y軸的負(fù)半軸相交時b的范圍即可．

解：（1）如圖1中，

①∵OA=1，OP1=1，OP4=1，

∴P1，P4與點A是“中心軸對稱”的，

故答案為P1，P4．

②如圖2中，

以O為圓心，OA為半徑畫弧交射線OB于E，以O為圓心，OC為半徑畫弧交射線OB于F．

∵在正方形ABCD中，點A(1，0)，點C(2，1)，

∴點B（1,1），

∵點E在射線OB上，

∴設(shè)點E的坐標(biāo)是（x，y），

則x=y，

即點E坐標(biāo)是（x，x），

∵點E與正方形ABCD是“中心軸對稱”的，

∴當(dāng)點E與點A對稱時，則OE=OA=1，

過點E作EH⊥x軸于點H，則OH2+EH2=OE2，

∴x2+x2=12，

解得x=，

∴點E的橫坐標(biāo)xE=，

同理可求點：F（，），

∵E（，），F（，），

∴觀察圖象可知滿足條件的點E的橫坐標(biāo)xE的取值范圍：≤xE≤．

（2）如圖3中，設(shè)GK交x軸于P．

當(dāng)一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點G（-2，2）時，2=-2+b，b=2+2，

當(dāng)一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點P（-2，0）時，0=-2+b，b=2，

觀察圖象結(jié)合圖形W1和圖形W2是“中心軸對稱”的定義可知，當(dāng)2≤b≤2+2時，線段MN與四邊形GHJK是“中心軸對稱”的．

根據(jù)對稱性可知：當(dāng)-2-2≤b≤-2時，線段MN與四邊形GHJK是“中心軸對稱”的．

綜上所述，滿足條件的b的取值范圍：2≤b≤2+2或-2-2≤b≤-2．