Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AC切半圓于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE于點(diǎn)E，BD=10，DE、BE是方程x²-2（m+2）x+2m²-m+3=0的兩個根（BE＞DE）．
求：（1）m的值；
（2）⊙O的直徑；
（3）AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合勾股定理求解；
（2）連接OD、AD．根據(jù)（1）中結(jié)論DE、BE的長，證明△ABD與△BDE相似求解；
（3）結(jié)合（2），根據(jù)射影定理即可求解．
解答：解：（1）∵DE、BE是方程的兩個根，
∴DE+BE=2（m+2），DE•BE=2m²-m+3．
又∵BE⊥DE，∴∠E=90°，
∴DE²+BE²=BD²，
（DE+BE）²-2DE•BE=10²即4（m+2）²-2（2m²-m+3）=100，
∴m=5．
當(dāng)m=5時，△=-4m²+20m+4=240＞0，
∴m的值為5．

（2）連接DO．
∵DE為⊙O的切線，
∴DE⊥OD，∠ODE=∠E=90°．
∴∠ODE+∠E=180°，∴OD∥BE．
∴∠ODB=∠DBE．
又∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBE．
∵m=5，∴原方程為x²-14x+48=0．
∴x₁=6，x₂=8．
∵BE＞DE，
∴BE=8，DE=6．∴BD=10．
連接AD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．∴∠ADB=∠E=90°．
又∵∠OBD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE．
∴，即，
∴AB=．

（3）∵AC切⊙O于點(diǎn)A，
∴AC⊥AB，∠CAB=90°．
∴△ACB∽△EDB，
∴，
∴AC=．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．