Question

【題目】如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y=+x+2；(2)存在．P（，4）或（，）或（，）；(3) 當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△EBC面積最大，△EBC最大面積是4，此時(shí)E（2，1）．

【解析】

試題分析：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=+bx+c列方程組即可；

（2）先求出CD的長(zhǎng)，分兩種情形①當(dāng)CP=CD時(shí)，②當(dāng)DC=DP時(shí)分別求解即可；

（3）求出直線BC的解析式，設(shè)E(m，)，則F(m，)，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=+bx+c得，

解得b=，c=2，

∴拋物線的解析式為y=+x+2；

（2）存在．如圖1中，∵C（0，2），D（，0），

∴OC=2，OD=，CD==，

①當(dāng)CP=CD時(shí)，可得（，4），

②當(dāng)DC=DP時(shí)，可得（，），（，），

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，4）或（，）或（，）；

（3）如圖2中，

對(duì)于拋物線y=+x+2，當(dāng)y=0時(shí)，+x+2=0，解得=4，=﹣1，

∴B（4，0），A（﹣1，0），

由B（4，0），C（0，2）得直線BC的解析式為y=x+2，

設(shè)E(m，)，則F(m，)，

EF=()﹣()==，

∴＜0，∴當(dāng)m=2時(shí)，EF有最大值2，

此時(shí)E是BC中點(diǎn)，

∴當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△EBC面積最大，

∴△EBC最大面積=×4×EF=×4×2=4，此時(shí)E（2，1）．