Question

在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點．
（1）求線段CD的長；
（2）若E為邊OA上的一個動點，求△CDE周長的最小值；
（3）若E、F為線段邊OA上的兩個動點（點E在點F左邊），且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)合已知條件，根據(jù)勾股定理求出即可求出CD的長度；
（2）根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)，CD的長度一定，求的D點關于x軸的對稱點D′，CD′即為C點到D點的最小值，求△CDE周長的最小值為CD′+CD；
（3）作點D關于x軸的對稱點D′，連接D′G與x軸交于點E，在EA上截EF=2，在CB邊上截取CG=2，根據(jù)軸對稱-最短線路的有關知識，結(jié)合圖形和已知條件推出Rt△D′OE∽Rt△D′BG，根據(jù)相似三角形邊得比例關系，很容易結(jié)合求的OE的長度，繼而求的OF的長度，很容易得出E點，F(xiàn)點的坐標
解答：解：（1）∵矩形OACB，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點，
∴BC=OA=3，BD=OB=2，
∴CD=；（3分）

（2）如圖，作點D關于x軸的對稱點D′（0，-2），（4分）
連接CD′與x軸交于點E，連接DE，
∴DE+CE=CD′（最小值），
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點，
∴BC=3，D′O=DO=2，D′B=6，
∴D′C=，（6分）
∴△CDE周長的最小值為：CD+DE+CE=CD+D′C=；（7分）

（3）如圖，作點D關于x軸的對稱點D′，在CB邊上截取CG=2，
連接D′G與x軸交于點E，在EA上截EF=2，（8分）
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF，
又DC、EF的長為定值，
∴此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小，（9分）
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有，
∴，（10分）
∴，（11分）
∴點E的坐標為（，0），點F的坐標為（，0）．（12分）
點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、軸對稱-最短線路的有關知識．本題關鍵是通過勾股定理求出各邊的長度，根據(jù)軸對稱-最短線路的有關知識找到E點、D′點的位置．