Question

如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD的內(nèi)部，
延長BG交DC于點F．若DC=2DF，則=______

Answer 1

【答案】分析：（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即連接EF，證△EGF≌△EDF即可；可設(shè)DF=x，BC=y；進(jìn)而可用x表示出DC、AB的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)知AB=BG，即可得到BG的表達(dá)式，由（1）證得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表達(dá)式，進(jìn)而可在Rt△BFC中，根據(jù)勾股定理求出x、y的比例關(guān)系，即可得到 的值；
（2）方法同（1）．
解答：解：（1）連接EF，則根據(jù)翻折不變性得，
∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；
設(shè)DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²
∴y=2 x，
∴；

（2）由（1）知，GF=DF，設(shè)DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²
∴y=2x，
∴．
故答案為：； ．
點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等重要知識，難度適中．