Question

△ABC中，∠A=60°，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O．下列結(jié)論正確的有_____個(gè)
①∠EOC=60°；②OE=OF；③BC=BF；④BC=BE=CF．

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

B
分析：①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解；
②截取CD=CE，利用“邊角邊”證明△CEO和△CDO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠COE=∠COD，全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=OD，然后求出∠BOF=∠BOD=60°，再利用“角邊角”證明△BOD和△BOF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OD=OF，從而得到OE=OF；
③根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=BD，從而判斷本小題錯(cuò)誤；
④假設(shè)BE=CF成立，可以求出OB=OC，根據(jù)等邊對等角可得∠OBC=∠OCB，然后求出∠ABC=∠ACB，此條件無法得到，從而判定本小題錯(cuò)誤．
解答：①∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°，
∠EOC=180°-∠BOC=180°-120°=60°，故本小題正確；
②如圖，截取CD=CE，
∵CF是∠ACB的平分線，
∴∠ECO=∠DCO，
在△CEO和△CDO中，
∵，
∴△CEO≌△CDO（SAS），
∴∠COE=∠COD=60°，OE=OD，
∵∠BOC=120°（已證），
∴∠BOD=120°-60°=60°，
又∵∠BOF=∠COE=60°，
∴∠BOF=∠BOD=60°，
∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠FBO=∠DBO，
在△BOD和△BOF中，
∵，
∴△BOD≌△BOF（ASA），
∴OD=OF，
∴OE=OF，故本小題正確；
③∵△BOD≌△BOF，
∴BF=BD，
∴BC=BF錯(cuò)誤，故本小題錯(cuò)誤；
④假設(shè)BE=CF成立，∵OE=OF，
∴BE-OE=BF-OF，
即OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，
∴∠ABC=∠ACB，
此條件無法求出，所以假設(shè)不成立，故本小題錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的是①②共2個(gè)．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．