Question

唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題--將軍飲馬問(wèn)題：
如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)．請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？
做法如下：如圖1，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長(zhǎng)線上，取B關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，與河岸線相交于P，則P點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P，飲馬之后，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
（1）觀察發(fā)現(xiàn)
再如圖2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn)，連接EF，在線段EF上找一點(diǎn)P，使BP+AP最短．
作點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接AC交EF于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+AP的最小值為_(kāi)_____

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)系題干給出的信息提示，在等腰梯形ABCD中，B、C關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，所以BP+AP的最小值應(yīng)為線段AC的長(zhǎng)，所以只需求出AC長(zhǎng)即可；梯形ABCD中，AD∥BC，所以同旁?xún)?nèi)角∠BAD、∠ABC互補(bǔ)，已知∠BAD=∠D=120°，所以∠ABC=60°，在等腰△ADC中（AD=CD=2），易求得底角∠DAC=30°，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)△BAC是含30°角的特殊直角三角形，已知AB的長(zhǎng)，則線段AC的長(zhǎng)可得，由此得解．
（2）延續(xù)上面的思路，先作點(diǎn)A關(guān)于直徑MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC，那么BC與MN的交點(diǎn)即符合點(diǎn)P的要求，BP+AP的最小值應(yīng)是弦BC的長(zhǎng)；已知點(diǎn)B是劣弧AN的中點(diǎn)，所以圓周角∠AMN=∠AON=∠BON=30°；點(diǎn)A、C關(guān)于直徑MN對(duì)稱(chēng)，那么=，因此∠CON=∠AON=60°，由此可以看出△BOC是一個(gè)等腰直角三角形，已知⊙O的直徑可得半徑長(zhǎng)，則等腰直角三角形的斜邊（即BP+AP的最小值BC長(zhǎng)）可求．
（3）①已知拋物線對(duì)稱(chēng)軸x==1，以及點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法能求出拋物線的解析式；
②△ACM中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)已確定，所以邊AC的長(zhǎng)是定值，若△ACM的周長(zhǎng)最小，那么AM+CM的值最小，所以此題的思路也可以延續(xù)上面兩題的思路；過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性點(diǎn)D的坐標(biāo)易得，首先利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，那么直線AD與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)M；在求出點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)后，線段AC、AD的長(zhǎng)可得，所以△ACM的周長(zhǎng)最小值=AC+AD（其中AD為AM+CM的最小值）．
解答：解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，且∠BAD=∠D=120°，
∴∠ABC=60°；
在△ADC中，AD=CD=2，∠D=120°，所以∠DAC=∠DCA=30°；
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=120°-30°=90°，即△BAC為直角三角形；
在Rt△BAC中，∠ABC=60°，∠BCA=90°-60°=30°，AB=2，所以AC=AB•tan60°=2；
由于B、C關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，根據(jù)閱讀資料可知BP+AP的最小值為線段AC的長(zhǎng)，即2．

（2）如圖（2），作點(diǎn)A關(guān)于直徑MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC，則BC與直徑MN的交點(diǎn)為符合條件的點(diǎn)P，BC的長(zhǎng)為BP+AP的最小值；
連接OA，則∠AON=2∠AMN=60°；
∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，
∴∠BON=∠AON=30°；
∵A、C關(guān)于直徑MN對(duì)稱(chēng)，
∴=，則∠CON=∠AON=60°；
∴∠BOC=∠BON+∠CON=90°，又OC=OB=MN=，
在等腰Rt△BOC中，BC=OB=；
即：BP+AP的最小值為．

（3）①依題意，有：
，解得
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3；
②取點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得：D（2，-3）；
連接AD，交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，如圖（3）-②；
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，代入A（-1，0）、D（2，-3），得：
，解得
∴直線AD：y=-x-1，M（1，-2）；
∴△ACM的周長(zhǎng)最小值：l_min=AC+AD=+3．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了：等腰梯形的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形、利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式等綜合知識(shí)；題目的三個(gè)小題都是題干閱讀信息的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是閱讀信息中得到的結(jié)論，這就要充分理解軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間線段最短的具體含義．