Question

小明在計算

1

2

×

1

3

=

1

6

，

1

3

×

1

4

=

1

12

，

1

4

×

1

5

=

1

20

，…時發(fā)現(xiàn)

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4

-

1

5

，…
（1）用式子表示這一變化規(guī)律；
（2）利用這一規(guī)律計算：

2

(x+1)(x+3)

+

2

(x+3)(x+5)

+

2

(x+5)(x+7)

+…+

2

(x+2005)(x+2007)

．

Answer 1

分析：（1）仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)，本題規(guī)律是相鄰兩數(shù)倒數(shù)的積，等于它們倒數(shù)的差；
（2）利用規(guī)律，先把每一個分式分解成兩個分式的差，再利用分式的加減運算法則即可求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

2

(x+1)(x+3)

+

2

(x+3)(x+5)

+

2

(x+5)(x+7)

+…+

2

(x+2005)(x+2007)

=

1

x+1

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+5

+

1

x+5

-

1

x+7

+…+

1

x+2005

-

1

x+2007

=

1

x+1

-

1

x+2007

=

x+2007-x-1

(x+1)(x+2007)

=

2006

(x+1)(x+2007)

．

點評：本題主要考查學生總結規(guī)律運用規(guī)律的能力，這就要求學生在平時的學習中積累經(jīng)驗提高個人數(shù)學素養(yǎng)．