Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求證：DE是半圓⊙O的切線．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OD，OE，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
則DE為圓O的切線；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=DC，
∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，
則AD=AC-DC=6．
分析：（1）連接OD，OE，由AB為圓的直徑得到三角形BCD為直角三角形，再由E為斜邊BC的中點(diǎn)，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE為公共邊，利用SSS得到三角形OBE與三角形ODE全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到DE與OD垂直，即可得證；
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC為AC的一半，根據(jù)BC=2DE求出BC的長(zhǎng)，確定出AC的長(zhǎng)，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC為等邊三角形，可得出DC的長(zhǎng)，由AC-CD即可求出AD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．