Question

已知二次函數(shù)y₁=x²-（k+2）x+2，y₂=x²-kx-2k+2，
（1）若二次函數(shù)y₁=x²-（k+2）x+2與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B、C，△ABC的面積S=2，求y₁的解析式．
（2）不論k為何值時(shí)，二次函數(shù)y₂=x²-kx-2k+2的圖象都過(guò)定點(diǎn)，求這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)；若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和原點(diǎn)的直線與y₂中某個(gè)二次函數(shù)圖象相切時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)y₂的解析式．
（3）若二次函數(shù)y₁=x²-（k+2）x+2與x軸的交點(diǎn)為（x₁，0）、（x₂，0），且x₁＜x₂，二次函數(shù)y₂=x²-kx-2k+2與x軸的交點(diǎn)為（x₃，O）、（x₄，0），且x₃＜x₄，當(dāng)這四個(gè)交點(diǎn)相間排列（即x₁＜x₃＜x₂＜x₄或x₃＜x₁＜x₄＜x₂）時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=0，求得y_l=2，得出A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)B（x₁，0）、C（x₂，0）根據(jù)S_△ABC=2，即可求出k₁=2，k₂=-6，則y₁的解析式為y₁=x²-4x+2或y'₁=x²+4x+2；
（2）令k=0，得x=-2，y=6頂點(diǎn)為P（-2，6），或由k（x-2）+y-x²-2=0，得x-2=0，y=x²+2頂點(diǎn)P為（-2，6），經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，6）與原點(diǎn)0（0，O）的直線y=-3x，把y₂=-3x代入y₂=x²-kx-2k+2，求出k，則y₂=x²+x+4
（3）由x²-（k+2）x+2=x²-kx-2k+2，得x=k，把x=k代入y=x²-kx-2k+2得y=2-2k，根據(jù)已知條件，得2-2k＜0，即可得出k的取值范圍．
解答：解：（1）令x=0得），y_l=2
∴A（0，2），設(shè)B（x₁，0）、C（x₂，0）
|BC|=
S_△ABC=|BC|•|OA|=2，k₁=2，k₂=-6
y₁=x²-4x+2或y'₁=x²+4x+2
∵△₁=8＞O
∴y₁的解析式為y₁=x²-4x+2或y'₁=x²+4x+2

（2）令k=0得y₂=x²+2①
k=l得y₂=x²-x②
解由①②組成的方程組得x=-2y=6滿足y₂的表達(dá)式、頂點(diǎn)為P（-2，6）
或由k（x-2）+y-x²-2=0
得x-2=0，y=x²+2頂點(diǎn)P為（-2，6）
經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，6）與原點(diǎn)0（0，O）的直線y=-3x
把y₂=-3x代入y₂=x²-kx-2k+2得x²+（3-k）x-2k+2=0
△=（3-k）²-4（2-2k）=k²+2k+l=0
∴k=-1，∴y₂=x²+x+4

（3）x²-（k+2）x+2=x²-kx-2k+2得x=k
把x=k代入y=x²-kx-2k+2得y=2-2k
∵y_l、y₂的圖象開(kāi)口向上，開(kāi)口大小一樣且對(duì)稱軸不同
∴y_l、y₂的圖象交點(diǎn)在x軸下方，即y＜0時(shí)，滿足題設(shè)條件
∴2-2k＜0
∴k的取值范圍為k＞l．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了解析式的確定，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力，難度較大．