Question

3．如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，已知∠AEF=90°，$\frac{AE}{EF}$=$\frac{3}{4}$，△ECF的外接圓與AD相切，則tan∠DAF=$\frac{16}{63}$．

Answer 1

分析 設(shè)⊙O與直線AD相切于點(diǎn)M，連接MO，延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N，設(shè)AE=AM=3k，AB=3a，由△ABE∽△ECF求出EC，在RT△ABE中，利用勾股定理求出a、k之間的關(guān)系，利用DM²=DF•DC求出DF，根據(jù)tan∠DAF=$\frac{DF}{AD}$即可解決問(wèn)題．

解答 解：設(shè)⊙O與直線AD相切于點(diǎn)M，連接MO，延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N，
設(shè)AE=AM=3k，AB=3a，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∵∠C=∠B=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{EF}=\frac{3}{4}$，
∴EC=4a，
∵OM⊥AD．AD∥BC，
∴ON⊥BC，
∴NE=NC=DM=2a，
∴BE=3k+2a-4a=3k-2a，
在RT△ABE中，∵AE²=AB²+BE²，
∴9k²=9a²+（3k-2a）²，
∴k=$\frac{13}{12}$a，
∴AM=$\frac{13}{4}$a，
∵DM²=DF•DC，
∴DF=$\frac{4}{3}$a，
∴tan∠ADF=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{\frac{4}{3}a}{\frac{21}{4}a}$=$\frac{16}{63}$．
故答案為$\frac{16}{63}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、切割線定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)兩個(gè)參數(shù)，利用勾股定理推出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題．