Question

9．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q，當(dāng)BP=1時(shí)，線段CQ最長(zhǎng)．

Answer 1

分析 設(shè)BP的長(zhǎng)為x，CQ的長(zhǎng)為y，由題中條件可得△ABP∽△PCQ，由線段的比例可得出函數(shù)之間的關(guān)系，由函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段CQ的最大值．

解答 解：設(shè)BP的長(zhǎng)為x，CQ的長(zhǎng)為y．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°．
∵PQ⊥AP，
∴∠CPQ+∠APB=90°．
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPQ=∠BAP．
∴△ABP∽△PCQ．
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CQ}$．
∵AB=BC=2，BP=xCQ=y，
∴PC=2-x．
∴$\frac{2}{2-x}=\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+x，
=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴x=1時(shí)函數(shù)取到最大值，
即BP=1時(shí)，線段CQ最長(zhǎng)，
故答案為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解題意運(yùn)用三角形的相似性質(zhì)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，求最大值時(shí)，運(yùn)用到“配方法．