Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y＝2x的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0），y＝（x＞0）的圖象分別交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P為OQ的中點(diǎn)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A是雙曲線y＝（x＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，頂點(diǎn)B，C在雙曲線y＝（x＞0）上，且兩直角邊均與坐標(biāo)軸平行．

（1）直接寫出k的值；

（2）△ABC的面積是否變化？若不變，求出△ABC的面積；若變化，請(qǐng)說明理由；

（3）直線y＝2x是否存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）△ABC的面積不變，；（3）存在，（，）、（，）或（2，4）．

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)P（m，），Q（n，），根據(jù)P為OQ的中點(diǎn)，即可得出m、n之間的關(guān)系，由此即可得出k值；

（2）△ABC的面積不變，設(shè)A（a，）（a＞0），根據(jù)AB、AC與坐標(biāo)軸平行找出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，由此即可得出AB、AC，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

（3）假設(shè)存在，設(shè)A（a，）（a＞0），則C（a，），B（，）．以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形分別是以AB、AC、BC為對(duì)角線的平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)找出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D在直線y=2x上找出關(guān)于a的方程，解方程求出a值，將其代入A點(diǎn)坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝（x＞0）上，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y＝（x＞0）上，

∴設(shè)點(diǎn)P（m，），Q（n，），

∵點(diǎn)P為OQ的中點(diǎn)，

∴n＝2m，＝2，

∴k＝8．

（2）△ABC的面積不變，

設(shè)A，則C，

令y＝中y＝，則x＝，

∴點(diǎn)B（，），

∴AB＝＝，AC＝﹣＝，

∴S△ABC＝ABAC＝＝．

（3）假設(shè)存在，設(shè)A，則C，B（，）．

以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分三種情況：

①以AB為對(duì)角線，

則點(diǎn)D（，），即（，），

∵點(diǎn)span>D在y＝2x上，

∴＝2，

解得：a＝或a＝（舍去），

此時(shí)點(diǎn)A（，）；

②以AC為對(duì)角線，

則點(diǎn)D（，），即（，），

∵點(diǎn)D在y＝2x上，

∴＝2，

解得：a＝或a＝﹣（舍去），

此時(shí)點(diǎn)A（，）；

③以BC為對(duì)角線，

則點(diǎn)D（，），即（，），

∵點(diǎn)D在y＝2x上，

∴＝2，

解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），

此時(shí)點(diǎn)A（2，4）．

故直線y＝2x存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）、（，）或（2，4）.