Question

如圖，A處為牧草地，B處是牧童的家，A，B兩處距河岸的距離分別為AC=350m，BD=1250m，且AB兩地的距離為1500m，天黑前牧童從A點(diǎn)將馬牽到河邊去飲水，再趕回家．為了使所走的路程最短，牧童應(yīng)將馬趕到河邊的什么地點(diǎn)？請(qǐng)你在圖中畫(huà)出來(lái)；請(qǐng)你求出他要走的最短路程．

Answer 1

解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF交CD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．

（2）作BE⊥BD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖所示，
由題意得AE=1250-350=900m，EF=1250+350=1600
由勾股定理得：BE==1200
由勾股定理得：BF=
所以最短路程為2000米．
分析：要求牧民行駛距離最短的飲水點(diǎn)P，除非AP、BP的和為兩定點(diǎn)之間的距離，也即是P在兩定點(diǎn)F、B的連線上．根據(jù)勾股定理求出FB的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題．這類(lèi)問(wèn)題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可以利用對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離．