Question

已知點A（1，）在拋物線y=x²+bx+c上，點F（-，）在它的對稱軸上，點P為拋物線上一動點．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）判斷是否存在直線l，使得線段PF的長總是等于點P到直線l的距離，需說明理由．
（3）設直線PF與拋物線的另一交點為Q，探究：PF和QF這兩條線段的倒數(shù)和是否為定值？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）解：由=，a=，得b=…（1分）
把b=和點A（1，）代入y=x²+bx+c，可求得c=．
故這條拋物線的解析式是y=x²+x．…（2分）

（2）解：設點P（x₀，y₀），則y₀=x₀²+x₀．
作PM⊥AF于M，得
PF²=PM²+MF²=（x₀+）²+（y₀-）²
又∵y₀=x₀²+x₀
=（x₀+）²-
∴（x₀+）²=3y₀+
∴PF²=3y₀++y₀²-y₀+=（ y₀+1）²．
易知y₀≥-，y₀+1＞0．∴PF=y₀+1．…（4分）
又∵當直線l經(jīng)過點（0，-1）且與x軸平行時，
y₀+1即為點P到直線l的距離．
∴存在符合題意的直線l．…（5分）

（3）是定值．
證明：當PF∥x軸時，PF=QF=，．…（6分）
當PF與x軸不平行時，作QN⊥AF于N，
∵△MFP∽△NFQ，
∴．
再依據(jù)第（2）小題的結(jié)果，可得．…（7分）
整理上式，得 ．…（8分）
分析：（1）根據(jù)對稱軸為x==和a=求得b值，然后把求得的b值和點A點的坐標代入y=x²+bx+c，可求得c值，從而得到二次函數(shù)的解析式．
（2）設點P（x₀，y₀），表示出P點的縱坐標y₀=x₀²+x₀．作PM⊥AF于M，利用勾股定理PF²=PM²+MF²進一步得到PF=y₀+1．根據(jù)當直線l經(jīng)過點（0，-1）且與x軸平行時，y₀+1即為點P到直線l的距離，從而得到結(jié)論．
（3）分當PF∥x軸時，利用PF=QF=求得和當PF與x軸不平行時，作QN⊥AF于N，利用△MFP∽△NFQ根據(jù)相似三角形對應邊的比相等求得，從而得到結(jié)論．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及到的知識點比較多，難度比較大，是中考中的壓軸題．特別是存在性問題更是近幾年中考的高頻考點．