Question

15．已知，在△ABC中，AB=AC，在射線CA上截線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC于點(diǎn)M．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE，請(qǐng)判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
小茗同學(xué)認(rèn)為MD=ME，并寫下以下證明過(guò)程，請(qǐng)你將證明過(guò)程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)填充理由．
理由：如圖，作EN∥BD，交BC于N．
因?yàn)镋N∥BD
所以∠ABC=∠ENC（兩直線平行，同位角相等）
又因?yàn)椤螦BC=∠ACB（等腰三角形兩底相等）
所以∠ACB=∠ENC（等量代換）
所以△ENC是等腰三角形，EN=EC
又因?yàn)锽D=CE（已知）
所以EN=BD（等量代換）
因?yàn)镋N∥BD
所以∠BDE=∠DEN
在△DBM與△ENM中
∠BDE=∠DEM（已證）
∠BMD=∠EMN（對(duì)頂角相等）
EN=BD（已證）
所以△DBM≌△ENM（AAS）
所以MD=ME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）DM=EM；過(guò)點(diǎn)E作EN∥AB交BC于點(diǎn)N，然后利用平行線的性質(zhì)和已知條件可以證明△DBM≌△ENM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；
（2）成立；過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，然后利用平行線的性質(zhì)與已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；

解答 解：（1）MD=ME
理由：如圖①，

作EN∥BD，交BC于N．
因?yàn)镋N∥BD，
所以∠ABC=∠ENC（ 兩直線平行，同位角相等），
又因?yàn)椤螦BC=∠ACB（等腰三角形兩底相等），
所以∠ACB=∠ENC（等量代換），
所以△ENC是等腰三角形，EN=EC，
又因?yàn)锽D=CE（已知），
所以EN=BD（ 等量代換），
因?yàn)镋N∥BD，
所以∠BDE=∠DEN，
在△DBM與△ENM中
∠BDE=∠DEM（已證），
∠BMD=∠EMN（ 對(duì)頂角相等），
EN=BD（ 已證），
所以△DBM≌△ENM（ AAS），
所以MD=ME（ 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），
故答案為：兩直線平行，同位角相等，∠ACB，∠ENC，等量代換，對(duì)頂角相等，已證，AAS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；
（2）成立；
證明：如圖②，

過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF∥AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠FEM}\\{∠BMD=∠FME}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△EFM；
∴DM=EM；

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也利用了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高，平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練．