Question

1．如圖，在△ABC中，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點C作CF∥AB，在CF上取一點E，使DE=CD，連接AE，對于下列結(jié)論：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$；④AE為⊙O的切線，一定正確的結(jié)論選項是①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則BD⊥AC，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷AD=DC，則可對①進行判斷；利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證明∠1=∠2=∠3=∠4，則根據(jù)相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可對②進行判斷；由于不能確定∠1等于45°，則不能確定$\widehat{BD}$與$\widehat{AD}$相等，則可對③進行判斷；利用DA=DC=DE可判斷∠AEC=90°，即CE⊥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AB⊥AE，然后根據(jù)切線的判定定理得AE為⊙O的切線，于是可對④進行判斷．

解答 解：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
而AB=CB，
∴AD=DC，所以①正確；
∵AB=CB，
∴∠1=∠2，
而CD=ED，
∴∠3=∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正確；
∵△ABC不能確定為直角三角形，
∴∠1不能確定等于45°，
∴$\widehat{BD}$和$\widehat{AD}$不能確定相等，所以③錯誤；
∵DA=DC=DE，
∴點E在以AC為直徑的圓上，
∴∠AEC=90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE為⊙O的切線，所以④正確．
故答案為①②④．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定．