Question

（2001•陜西）如圖⊙O₁、⊙O₂點(diǎn)外切于點(diǎn)A，外公切線BC與⊙O₁切于點(diǎn)B，與⊙O₂切于點(diǎn)C，與O₂O₁的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，已知∠P=30度．
（1）求⊙O₁與⊙O₂半徑的比；
（2）若⊙O₁半徑為2m，求弧AB、弧AC及外公切線BC所圍成的圖形（陰影部分）的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）求⊙O₁與⊙O₂半徑的比，就要讓兩半徑建立聯(lián)系，連接O₁B，O₂C，可在Rt△PBO₁，Rt△PCO₂中利用直角三角形中的邊與邊的關(guān)系求出半徑的比．題中∠P=30°，可知O₁B=2r，O₂C=2R，由此可知3r=R，即可得出兩圓的半徑比．
（2）求出弧所對(duì)的圓心角，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．陰影部分的面積=梯形的面積-兩個(gè)扇形的面積．
解答：解：（1）連接O₁B，O₂C，
∠P=30°，
∴PO₁=2r，PO₂=2R，
∴2R=2r+r+R
R=3r
∴3r=R，
∴r：R=1：3；

（2）∠P=30°，
∴∠AO₁B=120°，
∴弧AB==，弧AC==2π；
利用勾股定理可知：BP==2，PC==6，∴BC=4；
S_陰影=S_梯形O1O2CB-S_扇形O1AB-S_扇形O2AC=（2+6）×4÷2--6π=16-．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了解直角三角形和弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)．