Question

在鈍角△ABC中，AD⊥BC，垂足為D點(diǎn)，且AD與DC的長(zhǎng)度為x²-7x+12=0方程的兩個(gè)根，⊙O是△ABC的外接圓，如果BD長(zhǎng)為a（a＞0）．求△ABC的外接圓⊙O的面積．

Answer 1

分析：要求三角形外接圓的面積，則需要求得該圓的半徑．首先運(yùn)用因式分解的方法解一元二次方程，求得的方程的根即是AD和CD的長(zhǎng)；因?yàn)锳D和CD的大小不確定，所以這里應(yīng)分情況討論．要求三角形的外接圓的半徑，應(yīng)作直徑，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)正弦定理進(jìn)行求解．

解答：解：延長(zhǎng)AO交圓O與點(diǎn)E，連接BE，則∠ABE=90°．
∵AD與DC的長(zhǎng)度為一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，
∴有兩種情況：
①AD=3，DC=4；
②A(yíng)D=4，DC=3；
在Rt△ADC中，sinC=

AD

AC

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
可得

AB

sinC

=AE，
即AE=

AB

AD

•AC，
當(dāng)AD=3，DC=4時(shí)，
AC=5，
∴AE=

5

3

9+a2

．
⊙O的面積為π•(

AE

2

)2=

25

36

(9+a2)π，
當(dāng)AD=4，DC=3時(shí)，
AB=

16+a2

，
∴AE=

5

4

16+a2

，
∴⊙O的面積為π•(

AE

2

)2=

25

64

(16+a2)π．

點(diǎn)評(píng)：此題的難點(diǎn)是求三角形外接圓的半徑．注意：正弦定理，在△ABC中，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R（R應(yīng)是三角形的外接圓的半徑）．