Question

（2012•煙臺）（1）問題探究
如圖1，分別以△ABC的邊AC與邊BC為邊，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，過點C作直線KH交直線AB于點H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分別為點M，N．試探究線段D₁M與線段D₂N的數量關系，并加以證明．
（2）拓展延伸
①如圖2，若將“問題探究”中的正方形改為正三角形，過點C作直線K₁H₁，K₂H₂，分別交直線AB于點H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁．作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分別為點M，N．D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
②如圖3，若將①中的“正三角形”改為“正五邊形”，其他條件不變．D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在圖3中補全圖形，注明字母，直接寫出結論，不需證明）

Answer 1

分析：（1）根據正方形的每一個角都是90°可以證明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的兩銳角互余證明∠D₁CK=∠HAC，再利用“角角邊”證明△ACH和△CD₁M全等，根據全等三角形對應邊相等可得D₁M=CH，同理可證D₂N=CH，從而得證；
（2）①過點C作CG⊥AB，垂足為點G，根據三角形的內角和等于180°和平角等于180°證明得到∠H₁AC=∠D₁CM，然后利用“角角邊”證明△ACG和△CD₁M全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=D₁M，同理可證CG=D₂N，從而得證；
②結論仍然成立，與①的證明方法相同．

解答：（1）D₁M=D₂N．
證明：∵∠ACD₁=90°，
∴∠ACH+∠D₁CK=180°-90°=90°，
∵∠AHK=∠ACD₁=90°，
∴∠ACH+∠HAC=90°，
∴∠D₁CK=∠HAC，
在△ACH和△CD₁M中，

∠D1CK=∠HAC ∠AHC=∠CMD1=90°  AC=CD1

，
∴△ACH≌△CD₁M（AAS），
∴D₁M=CH，
同理可證D₂N=CH，
∴D₁M=D₂N；


（2）①證明：D₁M=D₂N成立．
過點C作CG⊥AB，垂足為點G，
∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，
∠D₁CM+∠ACH₁+∠ACD₁=180°，
∠AH₁C=∠ACD₁，
∴∠H₁AC=∠D₁CM，
在△ACG和△CD₁M中，

∠H1AC=∠D1CM ∠AGC=∠CMD1=90° AC=CD1

，
∴△ACG≌△CD₁M（AAS），
∴CG=D₁M，
同理可證CG=D₂N，
∴D₁M=D₂N；

②作圖正確．
D₁M=D₂N還成立．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，正方形的性質，正多邊形的性質，讀懂題意，證明得到∠D₁CK=∠HAC（或∠H₁AC=∠D₁CM）是證明三角形全等的關鍵，也是解決本題的難點與突破口．