Question

（2011•鄂爾多斯）如圖，拋物線y=-（x-1）²+4的頂點為A，與x軸相交于B、C兩點，直線y=-2x+6經(jīng)過A、C兩點，且點C的坐標(biāo)為（3，0），連接OA．
（1）求出點B的坐標(biāo)和直線OA的解析式．
（2）直線y=m（0＜m＜4）分別與AO、AC交于點E和F，若將△AEF沿EF折疊，設(shè)折疊后的△A'EF與△AOC重疊部分的面積為S．
①用含m的代數(shù)式表示線段EF的長．
②試求S與m的函數(shù)關(guān)系式．且當(dāng)m為何值時，S有最大值？
（3）設(shè)直線y=m與y軸交于點Q，則在拋物線上是否存在這樣的點P，使以點Q、P、C、B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的解析式可得到拋物線的對稱軸解析式，而點B、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，而點C坐標(biāo)已知，則點B坐標(biāo)可求；
拋物線的解析式直接寫成了頂點式，則點A的坐標(biāo)可得，利用待定系數(shù)法即可得到直線OA的解析式．
（2）①直線OA、AC的解析式已知，令它們的函數(shù)值為m，即可得到點E、F的坐標(biāo)，進而能求出線段EF的長；
②分兩種情況考慮：
1、2≤m＜4時，△A′EF在△OAC內(nèi)部，它們的重疊部分是整個△A′EF，而△A′EF是由△AEF折疊所得，所以它們的面積相等，可據(jù)此思路求解；
2、0＜m＜2時，△A′EF與△OAC的重疊部分是一個梯形，可先求出梯形的兩底長，而高易知（即m），則面積可求．
（3）由于平行四邊形的四個頂點順序沒有明確，所以要分兩種情況討論：
①線段QP是平行四邊形的對角線；由于平行四邊形是中心對稱圖形，所以此種情況下，點Q、P關(guān)于線段BC的中點對稱，即點Q、P的橫坐標(biāo)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，聯(lián)立拋物線解析式不難得到點P的坐標(biāo)；
②線段QP是平行四邊形的邊；已知BC=4，那么將點Q向左或向右平移4個單位后，必為點P，所以此時點P的橫坐標(biāo)為4或-4，代入拋物線解析式中即可得到點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線y=-（x-1）²+4知：頂點A（1，4），對稱軸 x=1；
∵點B、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且C（3，0），
∴B（-1，0）；
設(shè)直線OA的解析式為 y=kx，代入點A的坐標(biāo)，得：k=4；
則直線OA：y=4x．

（2）①直線OA：y=4x中，當(dāng)y=m時，x=

m

4

；
則點E（

m

4

，m），同理可求得F（

6-m

2

，m）；
故EF=

6-m

2

-

m

4

=

12-3m

4

．
②當(dāng)點A′在x軸上時，m=2，所以分兩種情況：
1、2≤m＜4時，△A′EF在△AOC內(nèi)部，它們的重疊部分是△A′EF；
S=S_△AEF=

1

2

×

12-3m

4

×（4-m）=

3

8

（4-m）²；
由于2≤m＜4在對稱軸左側(cè)，所以當(dāng)m=2，S有最大值，且：
Smax=

3

8

（4-2）²=

3

2

；
2、0＜m＜2時，△A′EF與△AOC的重疊部分是梯形MNFE（如右圖）；
GH=m，AH=4，則 AG=A′G=4-m，A′H=A′G-GH=4-m-m=4-2m；
在Rt△AOH中，OH=1，AH=4，∴tan∠OAH=tan∠EA′G=

1

4

，同理可得：tan∠FA′G=tan∠CAH=

1

2

；
∴MH=A′H×tan∠EA′G=（4-2m）×

1

4

=1-

m

2

，HN=A′H×tan∠FA′G=（4-2m）×

1

2

=2-m，MN=MH+HN=3-

3m

2

；
S=S_梯形MNFE=

1

2

（EF+MN）GH=

1

2

×（3-

3m

4

+3-

3m

2

）×m=-

9

8

m²+3m=-

9

8

（m-

4

3

）²+2；
則當(dāng)m=

4

3

時，S有最大值，且Smax=2；
綜上，S=

3 8 (4-m)2 (2≤m＜4) - 9 8 m2+3m (0＜m＜2)

，且當(dāng)m=

4

3

時，S有最大值，且最大值為2．

（3）由（1）知：B（-1，0）、C（3，0），則 BC=4；分兩種情況討論：
①當(dāng)QP為平行四邊形的對角線時，點Q、P關(guān)于BC的中點對稱（因為平行四邊形是中心對稱圖形，且對稱中心為對角線的交點）；
故點P的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線y=-（x-1）²+4中，得y=-（2-1）²+4=3；
則P₁（2，3）；
②當(dāng)QP為平行四邊形的邊時，則點P的橫坐標(biāo)為4或-4；
當(dāng)x=4時，y=-（x-1）²+4=-（4-1）²+4=-5；
當(dāng)x=-4時，y=-（x-1）²+4=-（-4-1）²+4=-21；
則P₂（4，-5）、P₃（-4，-21）；
綜上，存在符合條件的點P，且坐標(biāo)為（2，3）、（4，-5）、（-4，-21）．

點評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、軸對稱圖形的性質(zhì)、圖形面積的求法以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等綜合知識．最后一題中，平行四邊形的各頂點排序沒有明確，是此題容易漏解的地方，一定要注意進行分類討論．