Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，AB=AN，連結CD、BN，CD的延長線交BN于點F．
（1）當∠ADN等于多少度時，∠ACE=∠EBF，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，設∠ABC=α，∠CAD=β，試探索α、β滿足什么關系時，△ACE≌△FBE，并說明理由．

Answer 1

解：（1）當∠ADN等于90度時，∠ACE=∠EBF．
理由如下：
∵∠ACB=∠ADN=90°，
∴△ABC和△AND均為直角三角形
又∵AC=AD，AB=AN，
∴△ABC≌△AND，
∴∠CAB=∠DAN，
∴∠CAD=∠BAN，
又∠ACD=∠ADC，∠ABN=∠ANB，
∴∠ACD=∠ABN 即∠ACE=∠EBF；

（2）當β=2α時，△ACE≌△FBE．
理由如下：
在△ACD中，∵AC=AD，
∴，
在Rt△ABC中，
∠ACD+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=α．
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由（1）知：∠ACE=∠EBF，又∠AEC=∠BEF
∴△ACE≌△FBE．
分析：（1）當∠ADN等于90度時，∠ACE=∠EBF，首先證明△ABC≌△AND，根據全等三角形的性質和已知條件即可得證；
（2）當β=2α時，△ACE≌△FBE，利用已知得出CE=BE，再利用∠ACE=∠EBF，又∠AEC=∠BEF，得出即可．
點評：本題主要考查了直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟記各性質與判定是解題的關鍵．