Question

【題目】如圖1所示，將一個(gè)邊長為2的正方形ABCD和一個(gè)長為2，寬為1的長方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長方形ABEF，現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）當(dāng)邊CD′恰好經(jīng)過EF的中點(diǎn)H時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的大小；

（2）如圖2，G為BC中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；

（3）小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△DCD′與△BCD′能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的大��；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠α=30°；（2）證明見解析；（3）旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí)，△BCD′與△DCD′全等．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CH=1，即可得出結(jié)論；

（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，則GD′=E′D；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)�等，�?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出α=135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算得到α=315°．

試題解析：（1）

∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，∴CE=CH=1，∴△CEH為等腰直角三角形，∴∠ECH=45°，∴∠α=30°；

（2）證明：∵G為BC中點(diǎn)，∴CG=1，∴CG=CE，∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∵CD′=CD，∠GCD=∠DCE′，CG=CE′，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；

（3）解：能．

理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∵CD′=CD′，∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí)，△BCD′≌△DCD′，當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α=（360°-90°）÷2=135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°，則α=360°﹣90°÷2=315°，即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí)，△BCD′與△DCD′全等．