Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分別是邊AB、AC上的兩個動點（D不與A、B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG．
（1）試求△ABC的面積；
（2）當邊FG與BC重合時，求正方形DEFG的邊長；
（3）設AD=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（4）當△BDG是等腰三角形時，請直接寫出AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作底邊上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面積．
（2）根據DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根據相似三角形對應高的比等于相似比即可求出邊DE的長度．
（3）可以分為正方形在三角形內部和不全在內部兩種情況求解，全在內部時，利用三角形相似得=，求出DE，再求重疊部分正方形的面積，不全在內部時先求出長DE，再利用DG∥AH，求出寬．
（4）當△BDG是等腰三角形時，分BD=DG，BD=BG，DG=BG三種情況寫出AD的長．
解答：解：（1）過A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=BC=3，
∴AH===4，
∴S_△ABC=BC•AH=×6×4=12．

（2）令此時正方形的邊長為a，
∵DE∥BC，
∴，
∴a=．

（3）當DE=時，由△ADE∽△ABC得=，解得AD=2，
當0＜x≤2時，正方形全部在三角形內部，由=得：=，DE=x，
y=（x）²=x²，
當2＜x＜5時，y=•（5-x）=x-x²．

（4）當△BDG是等腰三角形時，設AD=x，當BD=DG，
此時正方形不全部在三角形內部，
∵BD=5-x，
由（3）可知DG=DE=x，
由此即可求出AD=；
當DB=BG時，求出AD=；
當DG=BG，求出AD=；
故．
點評：本題考查了正方形、等腰三角形的性質，相似比等相關知識，解題時，注意形數結合，分類討論．