Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中點(diǎn)，過D作DE⊥AC與CB的延長線交于E，以AB、BE為鄰邊作長方形ABEF，連接DF，則DF的長等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,含30度角的直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：易證△CDE≌△CBA，得DE=AB，再求證△DEF為等邊三角形，得DF=DE，求AB即可求得DF．

解答：解：直角△ABC中∠ABC=90°，∠ABC=60°，∴AB=

3

BC=2

3

，
D為AC的中點(diǎn)，
∴CD=CB，∠CDE=∠CBA=90°，
∴△CBA≌△CDE，
∴AB=DE，∠CED=∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠DEF=60°，
作DG∥AF交FE與G，
可見DG為梯形ACEF的中位線，
同時(shí)為FG的垂直平分線，
∴DE=EF，
∴△DEF為等邊三角形，
∴AB=DE=DF，
∵AB=

3

BC，
∴DF=2

3

．
故答案為2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，考查了全等三角形的證明，考查了正三角形的判定，本題中求證DF=AB是解題的關(guān)鍵．