Question

如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD=16，點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．
（1）對(duì)角線AC的長(zhǎng)是

 

，菱形ABCD的面積是

 

；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE+OF的值是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE+OF的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)?zhí)骄縊E、OF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AC與BD相交于點(diǎn)G，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根據(jù)AC=2AG計(jì)算即可得解；再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解；
（2）連接AO，根據(jù)S_△ABD=S_△ABO+S_△ADO列式計(jì)算即可得解；
（3）連接AO，根據(jù)S_△ABD=S_△ABO-S_△ADO列式整理即可得解．

解答：解：（1）如圖，連接AC與BD相交于點(diǎn)G，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=

1

2

BD=

1

2

×16=8，
由勾股定理得，AG=

AB2-BG2

=

102-82

=6，
∴AC=2AG=2×6=12，
菱形ABCD的面積=

1

2

AC•BD=

1

2

×12×16=96；
故答案為：12；96；

（2）如圖1，連接AO，則S_△ABD=S_△ABO+S_△ADO，
所以，

1

2

BD•AG=

1

2

AB•OE+

1

2

AD•OF，
即

1

2

×16×6=

1

2

×10•OE+

1

2

×10•OF，
解得OE+OF=9.6是定值，不變；

（3）如圖2，連接AO，則S_△ABD=S_△ABO-S_△ADO，
所以，

1

2

BD•AG=

1

2

AB•OE-

1

2

AD•OF，
即

1

2

×16×6=

1

2

×10•OE-

1

2

×10•OF，
解得OE-OF=9.6，是定值，不變，
所以，OE+OF的值變化，OE、OF之間的數(shù)量關(guān)系為：OE-OF=9.6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，（2）（3）作輔助線構(gòu)造出兩個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．