Question

在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由DE⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可證得△ABC∽△FCD；
（2）首先過(guò)A作AG⊥CD，垂足為G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的長(zhǎng)，繼而求得△ABC的面積，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得△FCD的面積．

解答：（1）證明：∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCF，
∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；

（2）解：過(guò)A作AG⊥CD，垂足為G．
∵AD=AC，
∴DG=CG，
∴BD：BG=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AG，
∴△BDE∽△BGA，
∴ED：AG=BD：BG=2：3，
∵DE=3，
∴AG=

9

2

，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴

S△FCD

S△ABC

=（

CD

BC

）²=

1

4

．
∵S_△ABC=

1

2

×BC×AG=

1

2

×8×

9

2

=18，
∴S_△FCD=

1

4

S_△ABC=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．