Question

（2007•濰坊）如圖1，線段PB過(guò)圓心O，交圓O于A，B兩點(diǎn)，PC切圓O于點(diǎn)C，作AD⊥PC，垂足為D，連接AC，BC．
（1）寫出圖1中所有相等的角（直角除外），并給出證明；
（2）若圖1中的切線PC變?yōu)閳D2中割線PCE的情形，PCE與圓O交于C，E兩點(diǎn)，AE與BC交于點(diǎn)M，AD⊥PE，寫出圖2中相等的角（寫出三組即可，直角除外）；
（3）在圖2中，證明：AD•AB=AC•AE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)弦切角定理得到∠ACD=∠ABC；根據(jù)等角的余角相等得到∠BAC=∠CAD；
（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到相關(guān)的角相等；
（3）證△ADC∽△AEB，從而得出所求的結(jié)論．
解答：證明：（1）圖1中相等的角有：∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD，
連接OC，則OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC．
∴∠CAD=∠OCA．
又OA=OC，∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠CAD．
又AB為直徑，∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠ABC．

（2）∠ACD=∠ABE，∠ABC=∠AEC，∠BAE=∠BCE，∠CBE=∠CAE（三組即可）；

（3）由（2）知：∠ACD=∠ABE，
又∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴△ADC∽△AEB．
∴，即AD•AB=AC•AE．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了圓周角定理的推論、弦切角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．