Question

15、證明：
（1）若n為整數(shù)，則（2n+1）²-（2n-1）²一定是8的倍數(shù)；
（2）若n為正整數(shù)時(shí)，n³-n的值必是6的倍數(shù)；
（3）四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積加1必為一完全平方數(shù)．

Answer 1

分析：（1）運(yùn)用完全平方式展開(kāi)后合并，可得含有8的式子，從而可得出結(jié)論；
（2）先將式子因式分解，然后討論三因式的奇偶性，從而可證得結(jié)論；
（3）先設(shè)出這四個(gè)自然數(shù)，先后表示出它們的積和1的和，從而化簡(jiǎn)配方即可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n
∵n為整數(shù)，∴8|8n．
即8|（2n+1）²-（2n-1）²命題得證；
（2）n³-n=n（n²-1）=（n-1）n（n+1）
∵n為正整數(shù)，（n+1）和n是連續(xù)2個(gè)自然數(shù)，必定一奇一偶，
所以，2|n（n+1）；而（n-1），n，（n+1）是連續(xù)3個(gè)整數(shù)，
必有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以3|（n-1）n（n+1），
即6|（n-1）n（n+1）．命題得證．
（3）設(shè)這四個(gè)連續(xù)自然數(shù)依次為n-2，n-1，n，n+1，
其中n＞2且n為自然數(shù)，則依題意：
（n-2）（n-2）n（n+1）+1
=（n-2）（n+1）（n-1）n+1
=（n²-n-2）（n²-n）+1
=（n²-n）²-2（n²-n）+1
=（n²-n-1）²，
因?yàn)閚為自然數(shù)，所以n²-n-1必為整數(shù)，即命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)的整除性問(wèn)題，比較經(jīng)典，注意掌握證明整除的一般方法，即想辦法得到含有此因式的式子．