Question

已知⊙O和不在⊙O上的一點(diǎn)P，過(guò)P的直線交⊙O于A，B兩點(diǎn)，若PA•PB=24，OP=5，則⊙O的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

7或1
分析：由于點(diǎn)P不在⊙O上，那么就是說(shuō)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)或⊙O外兩種情況考慮，①點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，利用相交弦定理可求⊙O半徑；②點(diǎn)P在⊙O外，利用切割線定理可求⊙O半徑．
解答：①點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，連接OP，分別向兩邊延長(zhǎng)，與⊙O交于點(diǎn)C、D；
設(shè)CP=x，那么根據(jù)題意得
x（5+5+x）=PA•PB，
解得x=2（其中x=-12不合題意，舍去），
∴半徑OC=OP+CP=5+2=7；

②點(diǎn)P在⊙O外，延長(zhǎng)PD交⊙O于點(diǎn)D，PO與⊙O交于點(diǎn)C，
設(shè)OD=x，根據(jù)題意得
（5-x）（5+x）=PA•PB
∴25-x²=24，
解得x=1（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
故⊙O的半徑是7或1．

點(diǎn)評(píng)：本題是分情況討論，要注意每種情況結(jié)合圖來(lái)解題，主要利用了相交弦定理和切割線定理．