如圖,AB是⊙O的直徑,M是⊙O上一點(diǎn),MN⊥AB,垂足為N.P、Q分別是上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),如果∠MNP=∠MNQ,求證:MN2=PN•QN.

【答案】分析:延長QN交圓O于C,延長MN交圓O于D,如圖所示,由MN垂直于AB,得到一對直角相等,再由已知的一對角相等,得到∠1=∠2,由MN垂直于AB,利用垂徑定理得到A為弧DM的中點(diǎn),再由一對對頂角相等,得到∠1=∠ANC,可得出P與C關(guān)于AB對稱,進(jìn)而得到弧PA=弧AC,利用等式的性質(zhì)得到弧PD=弧MC,利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等,再由已知的一對角相等,利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似,得到三角形PMN與三角形MNQ相似,由相似得比例,即可得證.
解答:解:延長QN交圓O于C,延長MN交圓O于D,如圖所示,
∵M(jìn)N⊥AB,∠MNP=∠MNQ,
∴∠1=∠2,
∵AB是⊙O的直徑,MN⊥AB,
=,
∵∠1=∠2,∠ANC=∠2,
∴∠1=∠ANC,
∴P,C關(guān)于AB對稱,
=,=,
∴∠Q=∠PMN,
又∵∠MNP=∠MNQ,
∴△PMN∽△MQN,
∴MN2=PN•QN.
點(diǎn)評:此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng),難度適中,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意輔助線的作法.
練習(xí)冊系列答案
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8、如圖,AB是鉛直地豎立在坡角為30°的山坡上的電線桿,當(dāng)陽光與水平線成60°角時(shí),電線桿的影子BC的長度為4米,則電線桿AB的高度為( �。�

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(1)計(jì)算出弧AB所對的圓心角的度數(shù)(精確到0.01度)及弧AB的長度;(精確到0.1cm)
(2)計(jì)算出遮雨罩一個(gè)側(cè)面的面積;(精確到1cm2
(3)制做這個(gè)遮雨罩大約需要多少平方米的玻璃鋼材料.(精確到精英家教網(wǎng)0.1平方米)

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如圖,AB是鉛直地豎立在坡角為30°的山坡上的電線桿,當(dāng)陽光與水平線成60°角時(shí),電線桿的影子BC的長度為4米,則電線桿AB的高度為


  1. A.
    4米
  2. B.
    6米
  3. C.
    8米
  4. D.
    10米

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