Question

（2012•鎮(zhèn)江模擬）某商場(chǎng)試銷(xiāo)一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)關(guān)系：

x	…	60	65	70	75	80	…
y	…	60	55	50	45	40	…

（1）求銷(xiāo)售量y與銷(xiāo)售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫(xiě)出利潤(rùn)W與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的關(guān)系式；并求出銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
（3）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元，試確定銷(xiāo)售單價(jià)的范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數(shù)法求出銷(xiāo)售量y與銷(xiāo)售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+120；由于成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，可得到x的取值范圍為60≤x≤87；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)等于每一件的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售總量得到W=（x-60）•y，把y=-x+120代入得到W=（x-60）（-x+120）=-x²+180x-7200（60≤x≤87）；然后配成頂點(diǎn)式為W=-（x-90）²+900，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x＜90時(shí)，W隨x的增大而增大，則x=87時(shí)，W有最大值，其最大值=-（87-90）²+900=891；
（3）令W=500，則-（x-90）²+900=500，解得x₁=70，x₂=110，而當(dāng)x＜90時(shí)，W隨x的增大而增大，即可得到當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)的范圍為70（元）≤x≤87（元）時(shí)，該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元．

解答：解：（1）設(shè)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)關(guān)系為y=kx+b（k≠0），
把（60，60）、（80，40）代入，
得

60k+b=60 80k+b=40

，
解得

k=-1 b=120

，
∴銷(xiāo)售量y與銷(xiāo)售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+120；
∵成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，即不高于60（1+45%），
∴60≤x≤87；
（2）W=（x-60）•y
=（x-60）（-x+120）
=-x²+180x-7200（60≤x≤87）；
W=-（x-90）²+900，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x＜90時(shí)，W隨x的增大而增大，
∴x=87時(shí)，W有最大值，其最大值=-（87-90）²+900=891，
即銷(xiāo)售單價(jià)定為87元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是891元；

（3）令W=500，則-（x-90）²+900=500，解得x₁=70，x₂=110，
∵當(dāng)x＜90時(shí)，W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)的范圍為70（元）≤x≤87（元）時(shí)，該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：先根據(jù)實(shí)際問(wèn)題得到二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0），再得到頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，當(dāng)a＜0，二次函數(shù)有最大值，即x=-

b

2a

時(shí)，y的最大值為

4ac-b2

4a

，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的應(yīng)用．